manual/defunits.tex

   1 %
   2 % This file is part of the GROMACS molecular simulation package.
   3 %
   4 % Copyright (c) 2013, by the GROMACS development team, led by
   5 % Mark Abraham, David van der Spoel, Berk Hess, and Erik Lindahl,
   6 % and including many others, as listed in the AUTHORS file in the
   7 % top-level source directory and at http://www.gromacs.org.
   8 %
   9 % GROMACS is free software; you can redistribute it and/or
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  11 % as published by the Free Software Foundation; either version 2.1
  12 % of the License, or (at your option) any later version.
  13 %
  14 % GROMACS is distributed in the hope that it will be useful,
  15 % but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  16 % MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the GNU
  17 % Lesser General Public License for more details.
  18 %
  19 % You should have received a copy of the GNU Lesser General Public
  20 % License along with GROMACS; if not, see
  21 % http://www.gnu.org/licenses, or write to the Free Software Foundation,
  22 % Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA  02110-1301  USA.
  23 %
  24 % If you want to redistribute modifications to GROMACS, please
  25 % consider that scientific software is very special. Version
  26 % control is crucial - bugs must be traceable. We will be happy to
  27 % consider code for inclusion in the official distribution, but
  28 % derived work must not be called official GROMACS. Details are found
  29 % in the README & COPYING files - if they are missing, get the
  30 % official version at http://www.gromacs.org.
  31 %
  32 % To help us fund GROMACS development, we humbly ask that you cite
  33 % the research papers on the package. Check out http://www.gromacs.org.
  34
  35 \chapter{Definitions and Units}
  36 \label{ch:defunits}
  37 \section{Notation}
  38 The following conventions for mathematical typesetting
  39 are used throughout this document:
  40
  41 \centerline{
  42 \begin{tabular}{l|l|c}
  43 Item            &       Notation        & Example       \\
  44 \hline
  45 Vector          &       Bold italic     & $\rvi$        \\
  46 Vector Length   &       Italic          & $r_i$         \\
  47 \end{tabular}
  48 }
  49
  50 We define the {\em lowercase} subscripts
  51 $i$, $j$, $k$ and $l$ to denote particles:
  52 $\rvi$ is the {\em position vector} of particle $i$, and using this
  53 notation:
  54 \bea
  55 \rvij   =       \rvj-\rvi       \\
  56 \rij    =       | \rvij |
  57 \eea
  58 The force on particle $i$ is denoted by $\ve{F}_i$ and
  59 \beq
  60 \ve{F}_{ij} = \mbox{force on $i$ exerted by $j$}
  61 \eeq
  62 Please note that we changed notation as of version 2.0 to $\rvij=\rvj-\rvi$ since this
  63 is the notation commonly used. If you encounter an error, let us know.
  64
  65 \section{\normindex{MD units}\index{units}}
  66 {\gromacs} uses a consistent set of units that produce values in the
  67 vicinity of unity for most relevant molecular quantities. Let us call
  68 them {\em MD units}. The basic units in this system are nm, ps, K,
  69 electron charge (e) and atomic mass unit (u), see
  70 \tabref{basicunits}.
  71 \begin{table}
  72 \centerline{
  73 \begin{tabular}{|l|c|l|}
  74 \dline
  75 Quantity        & Symbol&  Unit                                         \\
  76 \hline
  77 length          &  r    &  nm $= 10^{-9}$ m                             \\
  78 mass            &  m    &  u (atomic mass unit) $=$
  79                                 1.6605402(10)$\times 10^{-27}$ kg       \\
  80                 &       &  ($1/12$ the mass of a $^{12}$C atom)         \\
  81                 &       &  $1.6605402(10)\times 10^{-27}$ kg            \\
  82 time            &  t    &  ps $= 10^{-12}$ s                            \\
  83 charge          &  q    &  {\it e} $=$ electronic charge $=
  84                                 1.60217733(49)\times 10^{-19}$ C        \\
  85 temperature     &  T    &  K                                            \\
  86 \dline
  87 \end{tabular}
  88 }
  89 \caption[Basic units used in {\gromacs}.]{Basic units used in
  90 {\gromacs}. Numbers in parentheses give accuracy.}
  91 \label{tab:basicunits}
  92 \end{table}
  93
  94 Consistent with these units are a set of derived units, given in
  95 \tabref{derivedunits}.
  96 \begin{table}
  97 \centerline{
  98 \begin{tabular}{|l|c|l|}
  99 \dline
 100 Quantity        & Symbol   & Unit                               \\
 101 \hline
 102 energy          & $E,V$    & kJ~mol$^{-1}$                      \\
 103 Force           & $\ve{F}$ & kJ~mol$^{-1}$~nm$^{-1}$            \\
 104 pressure        & $p$      & kJ~mol$^{-1}$~nm$^{-3} =
 105                                 10^{30}/N_{AV}$~Pa              \\
 106                 &          & $1.660\,54\times 10^6$~Pa $=
 107                                 16.6054$~bar                    \\
 108 velocity        & $v$      & nm~ps$^{-1} = 1000$ m s$^{-1}$             \\
 109 dipole moment   & $\mu$    & \emph{e}~nm                                \\
 110 electric potential& $\Phi$ & kJ~mol$^{-1}$~\emph{e}$^{-1} =
 111                                 0.010\,364\,272(3)$ Volt        \\
 112 electric field  & $E$      & kJ~mol$^{-1}$~nm$^{-1}$~\emph{e}$^{-1} =
 113                                 1.036\,427\,2(3) \times 10^7$~V m$^{-1}$        \\
 114 \dline
 115 \end{tabular}
 116 }
 117 \caption{Derived units}
 118 \label{tab:derivedunits}
 119 \end{table}
 120
 121 The {\bf electric conversion factor} $f=\frac{1}{4 \pi
 122 \varepsilon_o}=138.935\,485(9)$ kJ~mol$^{-1}$~nm~e$^{-2}$. It relates
 123 the mechanical quantities to the electrical quantities as in
 124 \beq
 125  V = f \frac{q^2}{r} \mbox{\ \ or\ \ } F = f \frac{q^2}{r^2}
 126 \eeq
 127
 128 Electric potentials $\Phi$ and electric fields $\ve{E}$ are
 129 intermediate quantities in the calculation of energies and
 130 forces. They do not occur inside {\gromacs}. If they are used in
 131 evaluations, there is a choice of equations and related units. We
 132 strongly recommend following the usual practice of including the factor
 133 $f$ in expressions that evaluate $\Phi$ and $\ve{E}$:
 134 \bea
 135 \Phi(\ve{r}) = f \sum_j \frac{q_j}{|\ve{r}-\ve{r}_j|}   \\
 136 \ve{E}(\ve{r}) = f \sum_j q_j \frac{(\ve{r}-\ve{r}_j)}{|\ve{r}-\ve{r}_j|^3}
 137 \eea
 138 With these definitions, $q\Phi$ is an energy and $q\ve{E}$ is a
 139 force. The units are those given in \tabref{derivedunits}:
 140 about 10 mV for potential. Thus, the potential of an electronic charge
 141 at a distance of 1 nm equals $f \approx 140$ units $\approx
 142 1.4$~V. (exact value: 1.439965 V)
 143
 144 {\bf Note} that these units are mutually consistent; changing any of the
 145 units is likely to produce inconsistencies and is therefore {\em
 146 strongly discouraged\/}! In particular: if \AA \ are used instead of
 147 nm, the unit of time changes to 0.1 ps. If kcal mol$^{-1}$ (= 4.184
 148 kJ mol$^{-1}$) is used instead of kJ mol$^{-1}$ for energy, the unit of time becomes
 149 0.488882 ps and the unit of temperature changes to 4.184 K. But in
 150 both cases all electrical energies go wrong, because they will still
 151 be computed in kJ mol$^{-1}$, expecting nm as the unit of length. Although
 152 careful rescaling of charges may still yield consistency, it is clear
 153 that such confusions must be rigidly avoided.
 154
 155 In terms of the MD units, the usual physical constants take on
 156 different values (see \tabref{consts}). All quantities are per mol rather than per
 157 molecule. There is no distinction between Boltzmann's constant $k$ and
 158 the gas constant $R$: their value is
 159 $0.008\,314\,51$~kJ~mol$^{-1}$~K$^{-1}$.
 160 \begin{table}
 161 \centerline{
 162 \begin{tabular}{|c|l|l|}
 163 \dline
 164 Symbol  & Name                  & Value                                 \\
 165 \hline
 166 $N_{AV}$& Avogadro's number     & $6.022\,136\,7(36)\times 10^{23}$  mol$^{-1}$ \\
 167 $R$     & gas constant  & $8.314\,510(70)\times 10^{-3}$~kJ~mol$^{-1}$~K$^{-1}$ \\
 168 $k_B$   & Boltzmann's constant  & \emph{idem}   \\
 169 $h$     & Planck's constant     & $0.399\,031\,32(24)$~kJ~mol$^{-1}$~ps \\
 170 $\hbar$ & Dirac's constant      & $0.063\,507\,807(38)$~kJ~mol$^{-1}$~ps \\
 171 $c$     & velocity of light     & $299\,792.458$~nm~ps$^{-1}$ \\
 172 \dline
 173 \end{tabular}
 174 }
 175 \caption{Some Physical Constants}
 176 \label{tab:consts}
 177 \end{table}
 178
 179 \section{Reduced units\index{reduced units}}
 180 When simulating Lennard-Jones (LJ) systems, it might be advantageous to
 181 use reduced units ({\ie}, setting
 182 $\epsilon_{ii}=\sigma_{ii}=m_i=k_B=1$ for one type of atoms). This is
 183 possible. When specifying the input in reduced units, the output will
 184 also be in reduced units. The one exception is the {\em
 185 temperature}, which is expressed in $0.008\,314\,51$ reduced
 186 units. This is a consequence of using Boltzmann's constant in the
 187 evaluation of temperature in the code. Thus not $T$, but $k_BT$, is the
 188 reduced temperature. A {\gromacs} temperature $T=1$ means a reduced
 189 temperature of $0.008\ldots$ units; if a reduced temperature of 1 is
 190 required, the {\gromacs} temperature should be 120.2717.
 191
 192 In \tabref{reduced} quantities are given for LJ potentials:
 193 \beq
 194 V_{LJ} = 4\epsilon \left[ \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6} \right]
 195 \eeq
 196
 197 \begin{table}
 198 \centerline{
 199 \begin{tabular}{|l|c|l|}
 200 \dline
 201 Quantity        & Symbol        & Relation to SI                        \\
 202 \hline
 203 Length          & r$^*$         & r $\sigma^{-1}$                       \\
 204 Mass            & m$^*$         & m M$^{-1}$                            \\
 205 Time            & t$^*$         & t $\sigma^{-1}$ $\sqrt{\epsilon/M}$ \\
 206 Temperature     & T$^*$         & k$_B$T $\epsilon^{-1}$                \\
 207 Energy          & E$^*$         & E $\epsilon^{-1}$             \\
 208 Force           & F$^*$         & F $\sigma~\epsilon^{-1}$              \\
 209 Pressure        & P$^*$         & P $\sigma ^3 \epsilon^{-1}$           \\
 210 Velocity        & v$^*$         & v $\sqrt{M/\epsilon}$         \\
 211 Density         & $\rho^*$      & N $\sigma ^3~V^{-1}$          \\
 212 \dline
 213 \end{tabular}
 214 }
 215 \caption{Reduced Lennard-Jones quantities}
 216 \label{tab:reduced}
 217 \end{table}
 218
 219
 220 % LocalWords:  ij basicunits derivedunits kJ mol mV kcal consts LJ BT
 221 % LocalWords:  nm ps