docs/reference-manual/periodic-boundary-conditions.rst

   1 .. _pbc:
   2
   3 Periodic boundary conditions
   4 ----------------------------
   5
   6 .. _fig-pbc:
   7
   8 .. figure:: plots/pbctric.*
   9    :width: 9.00000cm
  10
  11    Periodic boundary conditions in two dimensions.
  12
  13 The classical way to minimize edge effects in a finite system is to
  14 apply *periodic boundary conditions*. The atoms of the system to be
  15 simulated are put into a space-filling box, which is surrounded by
  16 translated copies of itself (:numref:`Fig. %s <fig-pbc>`). Thus
  17 there are no boundaries of the system; the artifact caused by unwanted
  18 boundaries in an isolated cluster is now replaced by the artifact of
  19 periodic conditions. If the system is crystalline, such boundary
  20 conditions are desired (although motions are naturally restricted to
  21 periodic motions with wavelengths fitting into the box). If one wishes
  22 to simulate non-periodic systems, such as liquids or solutions, the
  23 periodicity by itself causes errors. The errors can be evaluated by
  24 comparing various system sizes; they are expected to be less severe than
  25 the errors resulting from an unnatural boundary with vacuum.
  26
  27 There are several possible shapes for space-filling unit cells. Some,
  28 like the *rhombic dodecahedron* and the *truncated octahedron* :ref:`20 <refAdams79>` are closer to being a sphere than a cube is, and
  29 are therefore better suited to the study of an approximately spherical
  30 macromolecule in solution, since fewer solvent molecules are required to
  31 fill the box given a minimum distance between macromolecular images. At
  32 the same time, rhombic dodecahedra and truncated octahedra are special
  33 cases of *triclinic* unit cells; the most general space-filling unit
  34 cells that comprise all possible space-filling shapes \ :ref:`21 <refBekker95>`.
  35 For this reason, |Gromacs| is based on the triclinic unit cell.
  36
  37 |Gromacs| uses periodic boundary conditions, combined with the
  38 *minimum image convention*: only one – the nearest – image of each particle is
  39 considered for short-range non-bonded interaction terms. For long-range
  40 electrostatic interactions this is not always accurate enough, and
  41 |Gromacs| therefore also incorporates lattice sum methods such as Ewald
  42 Sum, PME and PPPM.
  43
  44 |Gromacs| supports triclinic boxes of any shape. The simulation box (unit
  45 cell) is defined by the 3 box vectors :math:`{\bf a}`,\ :math:`{\bf b}`
  46 and :math:`{\bf c}`. The box vectors must satisfy the following
  47 conditions:
  48
  49 .. math:: a_y = a_z = b_z = 0
  50           :label: eqnboxrot
  51
  52 .. math:: a_x>0,~~~~b_y>0,~~~~c_z>0
  53           :label: eqnboxshift
  54
  55 .. math:: |b_x| \leq \frac{1}{2} \, a_x,~~~~
  56           |c_x| \leq \frac{1}{2} \, a_x,~~~~
  57           |c_y| \leq \frac{1}{2} \, b_y
  58           :label: eqnboxshift2
  59
  60 Equations :eq:`%s <eqnboxrot>` can always be satisfied by
  61 rotating the box. Inequalities (:eq:`%s <eqnboxshift>`) and
  62 (:eq:`%s <eqnboxshift2>`) can always be satisfied by adding
  63 and subtracting box vectors.
  64
  65 Even when simulating using a triclinic box, |Gromacs| always keeps the
  66 particles in a brick-shaped volume for efficiency, as illustrated in
  67 :numref:`Fig. %s <fig-pbc>` for a 2-dimensional system. Therefore,
  68 from the output trajectory it might seem that the simulation was done in
  69 a rectangular box. The program :ref:`trjconv <gmx trjconv>` can be used to
  70 convert the trajectory to a different unit-cell representation.
  71
  72 It is also possible to simulate without periodic boundary conditions,
  73 but it is usually more efficient to simulate an isolated cluster of
  74 molecules in a large periodic box, since fast grid searching can only be
  75 used in a periodic system.
  76
  77 .. _fig-boxshapes:
  78
  79 .. figure:: plots/rhododec.*
  80         :width: 5.00000cm
  81
  82         A rhombic dodecahedron (arbitrary orientation).
  83
  84
  85 .. figure:: plots/truncoct.*
  86         :width: 5.00000cm
  87
  88         A truncated octahedron (arbitrary orientation).
  89
  90 Some useful box types
  91 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
  92
  93 .. |mathd| replace:: :math:`d`
  94 .. |mathd3| replace:: :math:`d^{3}`
  95 .. |mathd23| replace:: :math:`\frac{1}{2}\sqrt{2}~d^{3}`
  96 .. |mathd70| replace:: :math:`0.707~d^{3}`
  97 .. |mathd43| replace:: :math:`\frac{4}{9}\sqrt{3}~d^{3}`
  98 .. |mathd77| replace:: :math:`0.770~d^{3}`
  99 .. |math12d| replace:: :math:`\frac{1}{2}~d`
 100 .. |math13d| replace:: :math:`\frac{1}{3}~d`
 101 .. |math13dn| replace:: :math:`-\frac{1}{3}~d`
 102 .. |math12s2| replace:: :math:`\frac{1}{2}\sqrt{2}~d`
 103 .. |math12s3| replace:: :math:`\frac{1}{2}\sqrt{3}~d`
 104 .. |math16s3| replace:: :math:`\frac{1}{6}\sqrt{3}~d`
 105 .. |math13s6| replace:: :math:`\frac{1}{3}\sqrt{6}~d`
 106 .. |math23s2| replace:: :math:`\frac{2}{3}\sqrt{2}~d`
 107 .. |math13s2| replace:: :math:`\frac{1}{3}\sqrt{2}~d`
 108 .. |angbc| replace:: :math:`\angle` **bc**
 109 .. |angac| replace:: :math:`\angle` **ac**
 110 .. |angab| replace:: :math:`\angle` **ab**
 111 .. |90deg| replace:: :math:`90^\circ`
 112 .. |60deg| replace:: :math:`60^\circ`
 113 .. |71deg| replace:: :math:`71.53^\circ`
 114 .. |109deg| replace:: :math:`109.47^\circ`
 115
 116 .. _table-boxtypes:
 117
 118 .. table:: Overview over different box types
 119     :align: center
 120     :widths: auto
 121
 122     +-------------+-----------+-----------+-----------------------------------+------------------------------+
 123     | box type    | image     | box       | box vectors                       | box vector angles            |
 124     |             |           |           +---------+------------+------------+---------+----------+---------+
 125     |             | distance  | volume    | **a**   | **b**      | **c**      | |angbc| | |angac|  | |angab| |
 126     +=============+===========+===========+=========+============+============+=========+==========+=========+
 127     |             |           |           | |mathd| |   0        |   0        |         |          |         |
 128     |             |           |           +---------+------------+------------+         |          |         |
 129     | cubic       | |mathd|   | |mathd3|  |   0     | |mathd|    |   0        | |90deg| | |90deg|  | |90deg| |
 130     |             |           |           +---------+------------+------------+         |          |         |
 131     |             |           |           |   0     |   0        | |mathd|    |         |          |         |
 132     +-------------+-----------+-----------+---------+------------+------------+---------+----------+---------+
 133     | rhombic     |           | |mathd23| | |mathd| | 0          | |math12d|  |         |          |         |
 134     |             |           |           +---------+------------+------------+         |          |         |
 135     | dodcahdron  | |mathd|   | |mathd70| | 0       | |mathd|    | |math12d|  | |60deg| | |60deg|  | |60deg| |
 136     |             |           |           +---------+------------+------------+         |          |         |
 137     | (xy-square) |           |           | 0       | 0          | |math12s2| |         |          |         |
 138     +-------------+-----------+-----------+---------+------------+------------+---------+----------+---------+
 139     | rhombic     |           | |mathd23| | |mathd| | |math12d|  | |math12d|  |         |          |         |
 140     |             |           |           +---------+------------+------------+         |          |         |
 141     | dodcahdron  | |mathd|   | |mathd70| | 0       | |math12s3| | |math16s3| | |60deg| | |60deg|  | |60deg| |
 142     |             |           |           +---------+------------+------------+         |          |         |
 143     | (xy-        |           |           | 0       | 0          | |math13s6| |         |          |         |
 144     | hexagon)    |           |           |         |            |            |         |          |         |
 145     +-------------+-----------+-----------+---------+------------+------------+---------+----------+---------+
 146     | truncated   |           | |mathd43| | |mathd| | |math13d|  | |math13dn| |         |          |         |
 147     |             |           |           +---------+------------+------------+         |          |         |
 148     | octahedron  | |mathd|   | |mathd77| | 0       | |math23s2| | |math13s2| | |71deg| | |109deg| | |71deg| |
 149     |             |           |           +---------+------------+------------+         |          |         |
 150     |             |           |           | 0       | 0          | |math13s6| |         |          |         |
 151     +-------------+-----------+-----------+---------+------------+------------+---------+----------+---------+
 152
 153 The three most useful box types for simulations of solvated systems are
 154 described in :numref:`Table %s <table-boxtypes>`. The rhombic
 155 dodecahedron (:numref:`Fig. %s <fig-boxshapes>`) is the smallest and
 156 most regular space-filling unit cell. Each of the 12 image cells is at
 157 the same distance. The volume is 71% of the volume of a cube having the
 158 same image distance. This saves about 29% of CPU-time when simulating a
 159 spherical or flexible molecule in solvent. There are two different
 160 orientations of a rhombic dodecahedron that satisfy equations
 161 :eq:`%s <eqnboxrot>`, :eq:`%s <eqnboxshift>` and
 162 :eq:`%s <eqnboxshift2>`. The program :ref:`editconf <gmx editconf>`
 163 produces the orientation which has a square intersection with the
 164 xy-plane. This orientation was chosen because the first two box vectors
 165 coincide with the x and y-axis, which is easier to comprehend. The other
 166 orientation can be useful for simulations of membrane proteins. In this
 167 case the cross-section with the xy-plane is a hexagon, which has an area
 168 which is 14% smaller than the area of a square with the same image
 169 distance. The height of the box (:math:`c_z`) should be changed to
 170 obtain an optimal spacing. This box shape not only saves CPU time, it
 171 also results in a more uniform arrangement of the proteins.
 172
 173 Cut-off restrictions
 174 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
 175
 176 The minimum image convention implies that the cut-off radius used to
 177 truncate non-bonded interactions may not exceed half the shortest box
 178 vector:
 179
 180 .. math:: R_c < {\frac{1}{2}}\min(\|{\bf a}\|,\|{\bf b}\|,\|{\bf c}\|),
 181           :label: eqnphysicalrc
 182
 183 because otherwise more than one image would be within the cut-off
 184 distance of the force. When a macromolecule, such as a protein, is
 185 studied in solution, this restriction alone is not sufficient: in
 186 principle, a single solvent molecule should not be able to ‘see’ both
 187 sides of the macromolecule. This means that the length of each box
 188 vector must exceed the length of the macromolecule in the direction of
 189 that edge *plus* two times the cut-off radius :math:`R_c`. It is,
 190 however, common to compromise in this respect, and make the solvent
 191 layer somewhat smaller in order to reduce the computational cost. For
 192 efficiency reasons the cut-off with triclinic boxes is more restricted.
 193 For grid search the extra restriction is weak:
 194
 195 .. math:: R_c < \min(a_x,b_y,c_z)
 196          :label: eqngridrc
 197
 198
 199 For simple search the extra restriction is stronger:
 200
 201 .. math:: R_c < {\frac{1}{2}}\min(a_x,b_y,c_z)
 202           :label: eqnsimplerc
 203
 204 Each unit cell (cubic, rectangular or triclinic) is surrounded by 26
 205 translated images. A particular image can therefore always be identified
 206 by an index pointing to one of 27 *translation vectors* and constructed
 207 by applying a translation with the indexed vector (see :ref:`forces`).
 208 Restriction :eq:`%s <eqngridrc>` ensures that only 26 images need to be
 209 considered.