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   1 Expanded Ensemble
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   4 In an expanded ensemble simulation \ :ref:`68 <refLyubartsev1992>`, both the
   5 coordinates and the thermodynamic ensemble are treated as configuration
   6 variables that can be sampled over. The probability of any given state
   7 can be written as:
   8
   9 .. math:: P(\vec{x},k) \propto \exp\left(-\beta_k U_k + g_k\right),
  10           :label: eqnexpandensemble
  11
  12 where :math:`\beta_k = \frac{1}{k_B T_k}` is the :math:`\beta`
  13 corresponding to the :math:`k`\ th thermodynamic state, and :math:`g_k`
  14 is a user-specified weight factor corresponding to the :math:`k`\ th
  15 state. This space is therefore a *mixed*, *generalized*, or *expanded*
  16 ensemble which samples from multiple thermodynamic ensembles
  17 simultaneously. :math:`g_k` is chosen to give a specific weighting of
  18 each subensemble in the expanded ensemble, and can either be fixed, or
  19 determined by an iterative procedure. The set of :math:`g_k` is
  20 frequently chosen to give each thermodynamic ensemble equal probability,
  21 in which case :math:`g_k` is equal to the free energy in non-dimensional
  22 units, but they can be set to arbitrary values as desired. Several
  23 different algorithms can be used to equilibrate these weights, described
  24 in the mdp option listings.
  25
  26 In |Gromacs|, this space is sampled by alternating sampling in the
  27 :math:`k` and :math:`\vec{x}` directions. Sampling in the
  28 :math:`\vec{x}` direction is done by standard molecular dynamics
  29 sampling; sampling between the different thermodynamics states is done
  30 by Monte Carlo, with several different Monte Carlo moves supported. The
  31 :math:`k` states can be defined by different temperatures, or choices of
  32 the free energy :math:`\lambda` variable, or both. Expanded ensemble
  33 simulations thus represent a serialization of the replica exchange
  34 formalism, allowing a single simulation to explore many thermodynamic
  35 states.