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   1 Brownian Dynamics
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   4 In the limit of high friction, stochastic dynamics reduces to Brownian
   5 dynamics, also called position Langevin dynamics. This applies to
   6 over-damped systems, *i.e.* systems in which the inertia effects are
   7 negligible. The equation is
   8
   9 .. math:: {{\mbox{d}}\mathbf{r}_i \over {\mbox{d}}t} = \frac{1}{\gamma_i} \mathbf{F}_i(\mathbf{r}) + {\stackrel{\circ}{\mathbf{r}}}_i
  10
  11 where :math:`\gamma_i` is the friction coefficient
  12 :math:`[\mbox{amu/ps}]` and
  13 :math:`{\stackrel{\circ}{\mathbf{r}}}_i\!\!(t)` is a noise
  14 process with
  15 :math:`\langle {\stackrel{\circ}{r}}_i\!\!(t) {\stackrel{\circ}{r}}_j\!\!(t+s) \rangle = 2 \delta(s) \delta_{ij} k_B T / \gamma_i`.
  16 In |Gromacs| the equations are integrated with a simple, explicit scheme
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  18 .. math::
  19
  20    \mathbf{r}_i(t+\Delta t) = \mathbf{r}_i(t) +
  21            {\Delta t \over \gamma_i} \mathbf{F}_i(\mathbf{r}(t))
  22            + \sqrt{2 k_B T {\Delta t \over \gamma_i}}\, {\mathbf{r}^G}_i,
  23
  24 where :math:`{\mathbf{r}^G}_i` is Gaussian distributed
  25 noise with :math:`\mu = 0`, :math:`\sigma = 1`. The friction
  26 coefficients :math:`\gamma_i` can be chosen the same for all particles
  27 or as :math:`\gamma_i = m_i\,\gamma_i`, where the friction constants
  28 :math:`\gamma_i` can be different for different groups of atoms. Because
  29 the system is assumed to be over-damped, large timesteps can be used.
  30 LINCS should be used for the constraints since SHAKE will not converge
  31 for large atomic displacements. BD is an option of the :ref:`mdrun <gmx mdrun>` program.